Monte Carlo Methoden zur Berechnung der Zahl Pi

Monte Carlo Methoden gelten als Standardwerkzeug in der Finanz- und Versicherungsmathematik. Wir wollen die Grundidee hier am Beispiel der Zahl Pi präsentieren.

Monte Carlo Methoden bezeichnen eine Klasse von Verfahren, welche numerische Werte mithilfe von Zufallszahlen oder Zufallsexperimenten ermitteln. In der Finanz- und Versicherungsmathematik stößt man oft auf Integrationsprobleme oder Erwartungswertberechnungen mit einen großen Anzahl an Dimensionen. Beispielsweise kann die Bepreisung bestimmter Finanzderivative zu einem 360-dimesionalen Integral führen, wenn man den Wert des zugrundeliegenden Wertpapieres über ein Jahr lang für jeden Tag beobachtet muss. Während herkömmliche numerische Integrationsmethoden bei derartigen Problemen meist scheitern (Curse of Dimensionality), können sie mithilfe von Monte Carlo Methoden vergleichsweise einfach gelöst werden. Derartige Probleme seien hier nur am Rande als Motivation erwähnt, denn unser "Spielzeugbeispiel" zur Ermittlung der Zahl Pi lässt sich sehr wohl mit herkömmlichen Integrationsmethoden lösen. Die Idee ist die folgende: Man lege einen Viertelkreis mit Radius 1 in ein Einheitsquadrat, also ein Quadrat mit Seitenlängen von ebenfalls 1. Nach der hoffentlich allseits bekannten Formel für die Fläche eines Kreises besitzt der Viertelkreis die Fläche K = r²Pi/4 = Pi/4. Die Fläche des Einheitsquadrats beträgt Q=1. In dieses Quadrat lässt man eine große Anzahl an zufällig generierten Punkten fallen, die gleichmäßig darin verteilt sind. Hat man "genug" Punkte, so gilt ungefähr

oder in Worten ausgedrückt, das Verhältnis der Anzahl der Punkte im Viertelkreis und der Anzahl der Punkte im Quadrat entspricht ungefähr dem Verhältnis der Fläche des Viertelkreises und der Fläche des Quadrats. Nach dem Gesetz der großen Zahlen, einer Kernaussage der Wahrscheinlichkeitstheorie, ist diese Annäherung genauer, je mehr Punkte man verwendet, und wäre sogar exakt, wenn man unendlich viele Punkte verwenden würde, was natürlich praktisch nicht möglich ist. Das folgende Bild soll dieses Verfahren für 5000 Punkte veranschaulichen:

Quelle: Eigene Berechnungen

Die Überprüfung, ob ein Punkt (x,y) innerhalb des Kreises liegt, ist ganz einfach, man muss einfach nur prüfen, ob der Abstand a zum Kreismittelpunkt in (0,0) kleiner oder gleich 1 ist. Mit dem Satz des Pythagoras ist dies sehr einfach überprüfbar, denn es gilt a²=x²+y². Zählt man nun die Anzahl der Punkte im Viertelkreis, dividiert das durch N (=Gesamtanzahl der Punkte im Quadrat) und multipliziert diesen Wert anschließend mal 4, so erhält man eine Näherung für Pi.

Wie gut dieses Verfahren für verschiedene Werte von N ist, sehen wir in folgendem Beispiel:

Quelle: Eigene Berechnungen

Die grüne Linie stellt den richtigen Wert von Pi dar, während die blaue Linie unsere Näherung ist. Die roten Linien sind ein 95%-Konfidenzintervall unseres Schätzers, denn bei einer Monte Carlo Simulation lässt sich gleichzeitig auch ein Konfidenzintervall bestimmen, in dem der wahre Wert mit einer gewissen (vorgegebenen) Wahrscheinlichkeit liegen muss. Die breite des Konfidenzintervalls ist zugleich auch das Qualitätskriterium der Monte Carlo Simulation, und das Ziel ist immer, dass diese Breite kleiner wird als eine gewünschte Fehlertoleranz. Logischerweise wird die breite des Konfindenzbandes kleiner, je mehr Punkte man verwendet. Klassische Monte Carlo Methoden haben eine Konvergenzgeschwindigkeit von O(1/Wurzel(N)), das bedeutet: Will man den möglichen Fehler halbieren, muss man die Anzahl der Punkte vervierfachen. Oder möchte man um eine Kommastelle genauer werden, also der Fehler soll um den Faktor 1/10 kleiner werden, muss man die Anzahl der Punkte um den Faktor 100 erhöhen. Obwohl das für unser Spielzeugbeispiel wahrscheinlich nicht das beste Verfahren ist, funktioniert dieses Verfahren genauso gut bei viel komplexeren Problemstellungen. Auf Möglichkeiten, um eine bessere Konvergenzgeschwindigkeit zu erzielen, möchte ich in meinem nächsten Blog eingehen.