Raue Zeiten

Nur wenige Monate später sind die roten Fluten verflossen und eine Spannung ganz anderer Art sucht die Region heim. Die Irankrise von 2026 resultiert in einer teilweisen Blockade der Straße von Hormus und sorgt damit für Tumulte an den weltweiten Börsen. Der Ölpreis steigt und mit ihm die Volatilität unzähliger Assets.

Während sich die geopolitischen Ereignisse überschlagen und sich die tägliche Situation immer schneller zu ändern scheint, gelten an der Küste von Hormus doch auch Monate später noch dieselben Gesetze der Mathematik. Eines dieser Gesetze ist dabei so mächtig, dass es beinahe jedes Phänomen unserer kurzen Erzählung quantitativ beschreiben kann: das Rauschen des Meeres, die Struktur der Wasseroberfläche, die Verteilung der Regentropfen, die Bewegung der Sandkörner und schließlich auch die Volatilität der Märkte. Es ist das Gesetz der Skaleninvarianz, das unser Universum durchzieht und zur Bildung einiger der interessantesten Muster, sowohl in Natur als auch im Finanzwesen führt: der Fraktale.

Ein Fraktal wird oft beschrieben als ein Muster, das sich auf allen Größenskalen wiederholt. Tatsächlich ist das aber nur die halbe Wahrheit – eine weit anschaulichere Eigenschaft von Systemen, die durch Fraktale beschrieben werden, ist ihre Rauheit. Die wesentliche Kennzahl hierzu ist die fraktale Dimension und sie ist die mathematische Antwort darauf, was zwischen 2D und 3D liegt. Beispielsweise hat die Meeresoberfläche im Durchschnitt eine fraktale Dimension von 2,3. Die großen und kleinen Wellen auf dem Wasser führen also dazu, dass die Oberfläche mehr Platz im Raum einnimmt als eine flache, zweidimensionale Ebene, aber doch weniger als die dreidimensionalen Wassermengen unter ihr. Das liegt einzig daran, dass die Meeresoberfläche auf allen Skalen rau ist: Es gibt große Wellen, die einige Meter lang und hoch sein können, aber auch kleine Wellen, die auf Zentimeterskalen leben und mikroskopische Turbulenzen, die diese Wellen erzeugen können. Gemeinsam führen sie dazu, dass die Meeresoberfläche eben nicht wie zerknülltes Papier glatter wird, wenn man sie streckt, sondern immer rau bleibt. Das ist das Prinzip der Skaleninvarianz: Egal, in welcher Größenordnung wir ein fraktales System betrachten, die Muster bleiben dieselben.

Was wie eine mathematische Spielerei klingen mag, ist in der praktischen Welt bitterer Ernst: Die fraktale Dimension der Meeresoberfläche hat beispielsweise dramatische Auswirkungen darauf, wie viel Wärme diese speichern bzw. abstrahlen kann, was wiederum für den Klimawandel von höchster Bedeutung ist.

Die fraktale Dimension der Märkte und Preise wurde indes bereits in den 60er- und 70er-Jahren von Benoît Mandelbrot, dem Vater der fraktalen Mathematik, erkannt und berechnet, doch es dauerte noch Jahrzehnte, bis die Implikationen dessen in den Köpfen der unterschiedlichen Akteure Fuß gefasst hatten. Dabei ist die grundlegende Aussage so simpel wie ungewohnt: Muster in den Preisen verschiedenster Assets wiederholen sich auf allen Skalen. Die Abfolge der Preise einzelner Tage ähnelt der, ganzer Monate. Mit der Verfügbarkeit neuer hochaufgelöster Daten wurde diese Entdeckung erst im Jahr 2014 um eine weitere ergänzt: Auch Volatilität ist fraktal, und zwar ganz erheblich. Mit einer fraktalen Dimension von 1,9 ist sie fast so ausgedehnt wie eine zweidimensionale Oberfläche, obwohl sie lediglich eine einfache Zeitreihe beschreibt. Dies läutete das Zeitalter der rauen Volatilität oder rough volatility ein.

Doch woher kommen all diese fraktalen Muster? Ein berühmtes Exemplar aus der Reihe skaleninvarianter Gesetze ist das Pareto-Prinzip, welches besagt, dass 80 % des Gesamtvermögens in vielen Populationen auf nur 20 % der Menschen verteilt ist. Eine zentrale Eigenschaft dieser Verteilung ist, dass die Ungleichheit auf allen Skalen gleichbleibt: Folgt das Vermögen genau einer Pareto-Verteilung, so ist das Verhältnis von Milliardären zu Millionären gleich dem von Millionären zu Menschen, die nur 1000 € besitzen. Dabei kann diese Ungleichheit auf einfache, faire Art entstehen: Man gebe einer Population an Personen jeweils 100 € – fair und gleichverteilt – und lasse diese gegeneinander im Münzwurf antreten. Diejenige, zu deren Gunsten die Münze fällt, bekommt schließlich 1 € von ihrem Gegenspieler. Wiederholt sich dieses Spiel oft genug, so folgt zwangsläufig die oben beschriebene, fraktale Verteilung.

Am Ende steht nun die Frage, wie weit sich dieses Spiel treiben lässt. Sind Preise und Volatilität wirklich echte Fraktale? Schließlich gibt es doch eine kleinste Zeiteinheit, in der gehandelt wird, und an deren Wurzel sich glatte Signale finden lassen müssen, die unabhängig von den rauen, makroskopischen Mustern sind? Auch die Meeresoberfläche ist nicht beliebig klein, irgendwann stößt man doch an die Grenze der kleinsten Atome und findet dort den Ursprung der Kräfte, die die größeren Wellen antreiben?

Dazu sei abschließend noch ein Beispiel aus der Physik erwähnt, genauer gesagt aus dem aktuellen Forschungsfeld der Quantengravitation. Diese beschäftigt sich mit dem, was auf der kleinstmöglichen Skala in unserem Universum passiert, nämlich der Planck-Länge. Jenseits von allen Teilchen und Kräften, die unsere Welt beherrschen, haben neueste Zugänge hier eine bahnbrechende Entdeckung gemacht: Mit immer kleiner werdenden Skalen scheint sich die Dimension unseres eigenen Universums zu ändern, und die Raumzeit selbst wird zum Fraktal: Sie wird rauer.

Es spielt also keine Rolle, ob Sie an der roten Küste von Hormus oder von Ihrem Computer zu Hause aus die aktuelle Lage an den Märkten verfolgen, ob Sie sich fragen, was in den nächsten Tagen oder in den nächsten Monaten oder Jahren sein wird, ob Sie Volatilitätsbewegungen im Millisekundenbereich oder das Brechen großer Wellen vor der Küste beobachten: Das Gesetz der Skaleninvarianz und die allumfassende Welt fraktaler Muster wird Sie wohl noch länger begleiten.