Die physikalische Struktur der Märkte: Teil II – Krümmung & Kollaps

Im Laufe der Jahrtausende mussten wir Menschen unser Weltbild mehrfach revidieren: Zuerst wurde die flache Erde von einer Kugel abgelöst, später die Sonne in den Mittelpunkt elliptischer Planetenbahnen gestellt und schließlich die statische „Bühne“, auf der sich unser Leben abspielt, bestehend aus Raum und Zeit, durch eine dynamische Raumzeit abgelöst, die sich selbst ständig verändert. Dies waren stets einschneidende Veränderungen, stellten sie doch unsere Vorstellungen davon, wie es um unseren Platz im Universum steht, gehörig auf den Kopf. Dennoch wurden viele dieser Umbrüche durch die Messung einer einzelnen Größe eingeläutet, bei der schon winzige Unterschiede gravierende Konsequenzen mit sich ziehen: der Krümmung.

So spielt es beispielsweise in unserem täglichen Tun kaum eine Rolle, ob die Erde flach oder rund ist und tatsächlich erscheint sie uns die meiste Zeit allein aufgrund ihrer schieren Größe als flach. Doch würden Sie sich mit einer anderen Person zu einem Spaziergang verabreden, nebeneinander losgehen und ausreichend lange geradeausgehen, so würden Sie irgendwann beide am gleichen Punkt ankommen – zum Beispiel am Nordpol, wenn Sie immer Richtung Norden gingen. Dies hat eine bedeutende Konsequenz: Die Erde ist umrundbar, und wenn sie lange genug weitergehen, kommen Sie irgendwann immer an denselben Ort zurück. Dafür sorgt die – nach mathematischer Konvention so genannte – positive Krümmung der Erdoberfläche. Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist, dass die Erde nicht unendlich groß sein kann, sondern eine abgeschlossene Form hat. Lebten wir hingegen auf einer flachen Ebene, so könnte sich diese auch bis ins Unendliche ausdehnen – und die Wege zweier Menschen, die nebeneinander spazieren, würden sich nie kreuzen. Das gleiche Prinzip gilt für das Universum um uns: Aktuelle Messungen[1] deuten darauf hin, dass die Raumzeit um uns auf großen Skalen flach ist, aber bereits kleinste Abweichungen davon würden zu den unterschiedlichsten Formen führen, die wiederum eigene Implikationen für die Geschichte und das Schicksal unseres Universums hätten.

Will man die Struktur eines Objektes untersuchen, liegt es also nahe, in erster Linie nach dessen Krümmung zu fragen. So hat schließlich schon Aristoteles aus dem runden Schatten, den die Erde während einer Mondfinsternis wirft, korrekt geschlussfolgert, dass ein (konstant gekrümmter) Kreisschatten nur von einer (konstant gekrümmten) Kugel produziert werden kann. Viel später hat Albert Einstein schließlich gezeigt, dass Materie die Raumzeit krümmt, und dass umgekehrt die Raumzeitkrümmung die Bewegung von Himmelskörpern erklärt. Von einem Schatten am Mond zur vierdimensionalen Raumzeit ist es bereits ein weiter Weg – doch können wir dasselbe Prinzip der Krümmungsmessung auch auf den Finanzmarkt ausweiten?

Zur Beantwortung dieser Frage müssen wir einen Schritt zurückgehen und zuerst klären, wie wir dem Markt überhaupt eine Form geben. Was etwas weit hergeholt klingt, ist tatsächlich leicht machbar: Mathematisch braucht es dazu nicht mehr als eine Sammlung von Punkten und ein Maß für die Verbindungen beziehungsweise die Abstände zwischen diesen. Sobald wir für jedes Paar von Punkten sagen können, wie nahe oder fern sie einander sind, entsteht automatisch eine geometrische Form. Hier kommt die Netzwerk-Analogie aus unserem ersten Teil ins Spiel, allerdings nehmen wir diesmal zwei leichte Änderungen vor: Die Punkte entsprechen nun nicht mehr Investoren, sondern beispielsweise einzelnen Aktien und die Verbindungen entsprechen der Korrelation zwischen diesen. Damit ergibt sich eine wesentliche Änderung: Die Anzahl an Verbindungen, die von einem Punkt weg- oder zu ihm hinführen, kann nun beliebig groß oder klein werden. Stellte unser Netzwerk im ersten Teil noch dar, wie verschiedene Zustände im Markt entstehen und dominieren können, so misst unser Modell nun eher, wie der Markt selbst aussieht. Das Netzwerk befindet sich damit nicht mehr in einem Raum – es wird selbst zum Raum.

Betrachtet man nun zwei benachbarte Punkte in diesem Raum, so stellt sich dieselbe Frage wie auf der Erdoberfläche: Bleiben ihre Umgebungen voneinander getrennt oder wachsen sie zusammen? Die Krümmung um einen Punkt ist dann nicht viel mehr als ein Maß dafür, wie eng dessen Nachbarschaft miteinander verknüpft ist und wie leicht Informationen durch diese Umgebung fließen können.[2]

Auf den ersten Blick scheint dies eine sehr abstrakte, verkomplizierte Version von bestehenden ökonomischen Maßen zu sein. Warum nicht einfach die mittlere Korrelation zwischen Kursbewegungen messen? Der Grund dafür ist, dass die Korrelation lediglich die Stärke der Verbindung zweier Assets misst, während die Krümmung um diese die gesamte Struktur der Verbindung offenlegt. Sie zeigt an, wie sich Aktien gemeinsam bewegen, aber auch wie sich ihre Umgebung verändert, und hier wird aus der abstrakten Mathematik wieder eine konkrete Anwendung. Forscher konnten nämlich zeigen, dass die durchschnittliche Krümmung auf einem so definierten Markt-Netzwerk ein Indikator für Börsencrashs sein kann.

Der genaue Ablauf folgt dabei einem klaren Prinzip. Stellt man sich den Markt in normalen Phasen als Chor vor, so singen alle Akteure verschiedene Stimmen und Melodien. Mal klingt der Chor dissonant, mal harmonisch, doch sobald eine Krise einsetzt, beginnen alle Stimmen in unisono denselben Ton zu singen. Wie im ersten Teil dieser Serie geht es dabei darum, dass sich nun eine bestimmte Information gegenüber allen anderen durchsetzen kann: Dadurch steigt die Korrelation zwischen verschiedensten Titeln, selbst einzelnen Clustern, die zuvor unkorreliert waren, die mittlere Krümmung steigt mit und alle Fallen in dasselbe „Loch“.

Wer einen Börsencrash intuitiv als Zerfall von Ordnung versteht, könnte erwarten, dass das Netzwerk in einer Krise auseinanderbricht. Tatsächlich geschieht das Gegenteil. In einer Krise reagieren immer mehr Marktteilnehmer auf dieselbe Information, wodurch zuvor unabhängige Teile des Netzwerks zusammenrücken. Was paradox klingen mag, ist auf den zweiten Blick selbstverständlich: Das Netzwerk zerbricht nicht, es wird kompakter. Nicht eine Explosion, sondern ein Kollaps zeigt den Crash an.

Während die mittlere Krümmung weitestgehend unbestritten mit Börsencrashs zusammenhängt, ist man sich in der Literatur noch uneinig darüber, wie gut sich die darauf aufbauenden Modelle für Vorhersagen eignen, wobei eine gewisse Wahlfreiheit in der Konstruktion dieser Netzwerke einen Vergleich erschwert.[3] Was in der Finanzwelt somit noch am Anfang steht, ist in der Grundlagenphysik bereits in die tiefsten Bereiche fundamentaler Forschung gedrungen. So war die sogenannte Ricci-Krümmung bereits zu Albert Einsteins Zeiten zentraler Bestandteil seiner berühmten Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie. Heute wird dieselbe Methodik, auf Netzwerken Krümmung zu messen, beispielsweise in der Forschung zu Quantengravitation verwendet, um die Geometrie winziger Universen zu beschreiben. Das Netzwerk besteht nun aus Raumzeitpunkten, die Rechnung bleibt dieselbe.

Auf unserer Reise zwischen den Welten haben wir gesehen, wie verschiedene Phasen in Finanzmärkten und Magneten entstehen können und wie Krümmung nicht nur anzeigt, welche Form die Erde hat, sondern auch, in welchem Zustand sich der Markt befindet. Bei so vielen Parallelen stellt sich langsam die Frage, was es ist, dass die Macht hat, Phänomene der Physik und des Marktes gleichermaßen zu erklären. Im dritten und letzten Teil werden wir feststellen, dass hinter diesen Zusammenhängen eine bestimmte Symmetrie steht, die uns dabei helfen wird, die Frage zu beantworten, die im Kern der Sache Physiker wie Investoren umtreibt: Was ist real und was ist nur Modell?

Link zu Teil I:

https://www.securitykag.at/n/die-physikalische-struktur-der-maerkte-teil-i-maerkte-magneten/

Weiterführende Quellen:

Zu einigen berühmten Krümmungsmessungen (Video):

Zur Krümmung in Märkten:

https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.1501495

https://arxiv.org/pdf/2405.07134

[1] deren Durchführung sehr interessant ist, aber hier den Rahmen sprengen würde

[2] Tatsächlich ist es um einiges aufwändiger, auf einem Gitter aus einzelnen Punkten ein Maß für die Krümmung zu finden. In der Forschung hat sich hierfür die sogenannte Ollivier-Ricci-Krümmung durchgesetzt, die in den Papers im Anhang weiter ausgeführt wird. Zum weiteren Verständnis ist deren genaue Definition allerdings nicht notwendig.

[3] Es ist kein Naturgesetz, dass die Knotenpunkte aus Aktien und deren Verbindungen aus Zeitreihen-Korrelationen bestehen müssen und es sind zahlreiche andere Versionen denkbar.